Альберт (после — Альбер) Эльбаз родился 12 июня 1961 года в Касабланке, Марокко. Его отец был парикмахером, мать — домохозяйкой, которая всю жизнь мечтала стать художницей. Семья переехала в Холон, город в Израиле чуть южнее Тель-Авива, когда Альберту было всего 8 месяцев. В 1974 году его отец скончался, и мать устроилась работать кассиром в магазине. В конце 1970-х Альберт, как и все местные подростки, отслужил положенный срок в израильской армии.


В 1982 году Альберт поступил в Шенкарский колледж инженерного дела и дизайна (Shenkar College of Engineering and Design) в Тель-Авиве. Два года спустя, получив в подарок от матери 800 долларов, он отправился в Нью-Йорк, где сменил имя на Альбер. Начинал работать в Швейном квартале — создавал вечерние платья, а в 1989-м встретил Доун Мелло из Gucci, которая познакомила его с дизайнером Джеффри Бином. В компании Бина Альбер Эльбаз проработал несколько лет.

С 1996 по 1998 год Эльбаз трудился в парижском доме Guy Laroche по приглашению его президента Ральфа Толедано. В 1998-м он получил работу в Yves Saint Laurent, где занимался линией ready-to-wear Yves Saint Laurent Rive Gauche. «Я любил Сен-Лорана, — позже скажет Альбер Эльбаз. — Он был таким хрупким и эмоциональным. Но я побаивался тамошних секретарей. Они были эдакими идеальными женщинами из фильмов Хичкока». Его первые коллекции сопровождались смешанными отзывами критиков, поэтому, когда в 1999 году модный дом перешел под управление конгломерата Gucci Group, появились слухи о скором увольнении Эльбаза.


Действительно, в 2000-м Альбера сменил Том Форд, и Эльбаз устроился в итальянскую компанию Krizia. В 2001 году, прекратив с ней сотрудничество, отправился в путешествие по Индии, во время которого сделал более 2 тысяч скетчей. Отчаявшись найти работу в сфере моды, он задумался о том, чтобы стать врачом, однако вскоре получил предложение занять место креативного директора во французском модном моде Lanvin. Дебютная коллекция Эльбаза для Lanvin получила массу положительных откликов, в том числе от редактора Vogue Андре Леона Телли, который назвал дизайнера новым парижским талантом. В 2005-м Альбер стал обладателем сразу двух престижных наград — от Совета модных дизайнеров Америки в номинации «Международный дизайнер» (International Designer Award) и родного университета, Шенкарского колледжа инженерного дела и дизайна. В 2007 году Эльбаз получил французскую национальную награду — орден Почетного легиона, а также премию Технологического института моды в Нью-Йорке FIT Couture Council Award за заслуги в области моды. В 2010-м дизайнер представил коллекцию Lanvin для H&M.


В 2015 году Альбер Эльбаз объявил об уходе из Lanvin. Спустя пять лет он открыл собственный бренд AZ Factory, в основу которого легла концепция распространения товаров при помощи цифровых инструментов — без физического присутствия в бутиках. Первую коллекцию марки он показал в январе этого же года в формате 25-минутного фэшн-фильма. 24 апреля 2021-го стало известно, что дизайнер скончался из-за осложнений, вызванных коронавирусом, в возрасте 59 лет.